Définition :
Soit \(A\subset\Bbb R, A\neq\varnothing\)
Le plus grand des minorants de \(A\) (s'il existe) s'appelle la borne inférieure de \(A\) et se note \(\inf A\)
(Majoration - Minoration)
Si \(A\) est une partie non vide de \(\Bbb R\) et si \(A\) est majoré, alors l'ensemble des majorants de \(A\) admet un plus petit élément
Théorème :
toute partie non vide et minorée de \(\Bbb R\) admet une borne inférieure
Théorème :
Soit \(A\subset\Bbb R,A\neq\varnothing\), \(A\) majorée et soit \(\alpha\in\Bbb R\)
Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. \(\alpha=\inf A\)
2. \(\alpha\) vérifie les conditions suivantes
>- $$\forall x\in A,x\geqslant\alpha$$
>- $$\forall y\gt \alpha, \exists x\in A,x\lt y$$
3. \(\alpha\) vérifie les deux conditions suivantes :
>- $$\forall x\in\ A,x\geqslant\alpha$$
>- $$\exists (x_n)_{n\in\Bbb N}\text{ tq }(x_{n\in A}\land\lim_{n\to+\infty}x_n=\alpha)$$
(Limite)
Relation entre la borne inférieure et l'inclusion :
$${{A\subset B}}\implies{{\inf A\geqslant\inf B}}$$
(Inclusion)
Exemple : \(A=\{1-\frac1n,n\geqslant1\}=\{0,\frac12,\frac23,\frac34,\ldots\}\)
\(0\) est un minimum et donc \(\inf A=0\)
\(1\) est un majorant car \(\forall n\geqslant1,1-\frac1n\leqslant1\)
De plus, si \(x_n=1-\frac1n,n\geqslant1\), on a \(x_n\in A\) et \(x_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow1\)
Donc, d'après le théorème, \(1=\sup A\)
(Suite réelle)